设定理论拓扑的起源

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设定理论拓扑的起源

概述

拓扑是几何的概括,即在十九世纪开始承担单独的身份。集体理论的研究首先在十九世纪末提出了数学的严重部分。两者在二十世纪结合到两者的优势,因为设定的理论(直到那时似乎与普通数学几乎没有做过)发现了拓扑和拓扑的应用程序(它能够在许多方向上徘徊几何图形)可以在集合理论的帮助下拥有自己的地方。许多传统的数学领域可以在集理拓扑的帮助下以一般的术语重述,这给了一个新的应用范围,如“功能”。

背景

几何是最早的数学分支之一,以承担身份作为一个单独的纪律,在很大程度上由于欧几里德(佛罗里卡C.300 B.C.)在他的工作中的努力元素。欧几里德留在十九世纪的几何井的源头,尽管有些时候,那时候已经担心了公理(欧几里德开始的假设)的具体形式。一般来说,物质元素涵盖的主题如平面数字和固体卷以及几何图形的抽象域。其他科学分支的人可以使用几何结果,即使他们不需要遵循欧几里德所提供的证明。

在十九世纪初,几个数学家开始调查如果欧几里德几何形状的一些公理掉落或改变。这非欧几里德几何形状似乎没有任何直接应用于外部世界,但它可以与称为“投射”几何的普通几何形状的变体连接。这项研究引起了正在寻求在平坦表面代表的画家的注意力。Girard Desargues(1591-1661)在投影几何上写了整个卷,似乎似乎远离欧几里德的几何形状,通常在19世纪数学家在课堂上教室等等亚瑟卡利(1821-1895)在英格兰认识到通过将其作为非欧几里德数学的解释来认识到将投影几何与其他数学连接的可能性。

欧几里德几何形状的中央概念之一是数字的一致性,这不得具有相同的大小和形状。在投影几何形状中,大小的想法掉了出于考虑,而形状的概念成为中央。例如,众所周知,太阳比硬币大得多,但如果硬币在距离眼睛处保持适当的距离,则它将完全阻挡到观察者的阳光。对投影几何是重要的,即两个物体可以出现相同的大小,这是在Cayley和其他人的工作中正式化的概念。

德国数学家Felix Klein(1849-1925)使用了投影和非欧几里德几何形状的工作,以产生宏伟的计划,用于分类已经开始出现的所有各种几何形状。在欧几里德几何形状中,如果它们具有相同的大小和形状,则两个图可能被认为是相同的。在投影几何形状中,如果它们具有相同的形状,即使它们的大小也不一样。可以将几何形状的更一般的方法引入该方案,包括拓扑,这将通过弯曲或拉伸可以将两个图形变为另一个图形,但没有撕裂。(在技术方面,这种转变被称为a连续变形。)

导致设定理论拓扑产生的其他成分是设定理论的学科,由此引入数学Georg Cantor.(1845-1918)。关于无限的想法在哲学和普遍的科学文学中已经存在多年,但似乎涉及悖论,可以防止他们在数学应用中使用。Cantor能够以一种涉及悖论的方式定义无限组的中心特征。坎特公司发明了他的集合理论与职能的代表性一起使用,尽管当时还有其他数学家对数学本身的使用感到非常不舒服。

影响

在欧几里德几何形状的直线上和更复杂的数字是由点组成的,尽管它们组成的点和线之间的连接是模糊的。毕竟,该线是由无限数量的点组成,如果从线上省略单点,那么似乎没有改变行本身。所需要的是,刻录的概念与陈列赛有限。这为术语从普通几何中的术语概括到拓扑中研究的较新的关系和数据的基础提供了术语。这个单词拓扑来自希腊词Topos,这提到了一个地方和这个词地形已经存在了制作地图。然而,拓扑的对象比在地图集中放在一起的地图,更加抽象得多。例如,拓扑新学科的点经常不代表飞机中的位置。该点可用于表示函数和其他数学对象。

也许是最重要的贡献者出现的设定理论拓扑,作为纪律是RenéMauriceFréchet(1878-1973)。虽然他在1951年之前没有出现过上的抽象空间的最着名的书,但他的想法在二十世纪上半叶的整个上半年在拓扑中发挥了作用。他认识到如何将通常应用于实际数字的想法扩展到从更复杂对象生成的点。其中,也许最重要的是距离,因为两个实数之间的距离很容易被定义为绝对值他们的差异。在一个以上的维度中,勾股定理可用于计算点之间的距离作为各个尺寸中距离的平方之和的平方根。

Fréchet观察到关于距离功能的某些特征是对数学的其余部分至关重要的距离功能 - 例如,在普通几何形状中保持的三角形不等式,这声称任何三角形的两侧长度的总和总是更大比第三方的长度。Fréchet下岗,不平等是在他创建的一般空间中申请到距离功能时的要求。当这与一些其他要求相结合时,由于考虑到点的额外抽象性,因此可以更普遍的几何形状。

官方的工作允许比设计距离功能的空间更多的空间。德国数学家Felix Hausdorff.(1868-1942)在1914年写了一本关于拓扑的教科书,也许是第一个处理新主题的拓扑教科书。陈函数已经确定了一个集合的子集,是集合中包含的对象的集合,因此(例如示例)偶数是整数的子集。在普通的几何形状中,一个在距离方面定义了另一个物体附近的物体。对于Hausdorff,可以在子集中定义一个集合的邻域,而不会与其开始的距离函数来定义。定义邻域的子集的选择的基础是实数的几何形状,但新定义可以在完全抽象的设置中给出。

Hausdorff,Fréchet和其他同时代的同时代作试图将标准几何形状的数学转化为适用于更拓扑空间的形式。在真实数字的语言中,间隔是两个给定点之间的数字集合。对于拓扑,该概念必须替换为连接集的概念,其中一个无法通过使用已定义的邻域分离为两组。在实数上的功能上执行的微积分中最重要的概念之一是连续性,通常以能够在不具有任何间隙的情况下绘制函数的图表而表示的。在拓扑中,在开放集中表示连续性的概念,从普通实数量的开放间隔的概括。在拓扑的新定义下,普通微积分的所有定理都必须保持真实,这使得那些将更多传统数学作为其域名的人来说,这是一个更容易翻译成一般环境的形式。

并非所有数学研究中心都同样快速地拾取定型理论拓扑作为值得调查的主题。毕竟,曾经有很多反对克朗的介绍了集合理论的人,而拓扑并不是那么彻底接受携带很多信心。这一切都更加令人惊讶的是,一种像波兰那样的相对较新的数学文化(在1918年外国政府多年后再次变得独立)就是有意识地专注于集理论和拓扑的领域。随着在国外的主题和波兰数学家感兴趣的其他地方的数学家的支持下,研究了功能分析 - 将定理拓扑应用于微积分蓬勃发展的概括。期刊基础Mathematica.可能是波兰语来出版,但其贡献者来自所有数学世界。

波兰学校的许多成员被迫在第二次世界大战期间出国,或者遭受德国入侵的牺牲品,但他们的成果通过其他地方的研究中心传播。WaclawSierpiński(1882-1969)多年来编辑基础Mathematica.并花了很多时间在设定的理论拓扑上。甚至更重要的是Kazimierz Kuratowski(1896-1980)的工作,这被证明更为重要,因为他使用的想法布尔代数(在Cantor之前熟悉的基本集合理论的想法)产生更多的普通空间。在普通的几何形状中,人们认为一个集合的边界作为定义图形的形状的点。然后,设置的关闭是原始设置在一起与其边界一起。Kuratowski更普遍地了解了一个关闭操作员,并确定了完全独立于点概念的抽象空间的拓扑。这被证明比Fréchet的方法更为肥沃。

来自许多国家的数学家手中的设定理论拓扑区域。除了上面提到的那些,俄罗斯,英格兰和匈牙利都是数学家的家庭,为设定理论拓扑做出贡献。它仍然是一个由一个国家的数学家(波兰)挪用的纪律的一个有趣的历史例子,并制定了他们的专业。一种抽象的拓扑空间甚至称为波兰空间,以识别波兰研究中心在促进主题方面发挥的核心作用。

二十世纪的早期部分看到了许多分支的数学的概括,很大程度上,那些没有看到需要超越传统部门的人的嘲笑。世纪教训之一是,即使是传统术语中规定的问题也可能有一个最容易发现使用更多抽象库中的武器的解决方案。Set-理论拓扑提供了许多涉及的许多工具,涉及陈述新的数学挑战和解决旧的数学挑战。

托马斯·德鲁克

进一步阅读

曼海姆,杰罗姆。点集拓扑的成因纽约:Macmillan,1964年。

摩尔,格雷戈里H.Zermelo的首选原理:它的起源,发展和影响力纽约:Springer-Verlag,1982。

理查兹,琼。数学愿景:维多利亚英格兰几何追求圣地亚哥,加利福尼亚州:1988年学术出版社。

寺庙,乔治。100年的数学。伦敦:杰拉尔德·沃特沃思和公司,1981年。